Bonjour, pourriez vous m'aider en math svp Merci. u_n=5/4u_(n-1)-1/4u_(n-2) et u_0=2 et u_1 = 6.

Réponse :

Bonsoir

Calculons vₙ₊₁ - vₙ

vₙ₊₁ - vₙ = uₙ₊₂ - (1/4)uₙ₊₁ - uₙ₊₁ + (1/4)uₙ

            = uₙ₊₂ - (5/4)uₙ₊₁ + (1/4)uₙ

            = uₙ₊₂ - ((5/4)uₙ₊₁ - (1/4)uₙ

            = uₙ₊₂ - uₙ₊₂ = 0

donc vₙ₊₁ = vₙ

La suite (vₙ) est donc constante, et vₙ = v₀ = u₁ - (1/4)u₀ = 6 - (1/4)×2 = 11/2

2) vₙ = uₙ₊₁ - (1/4)uₙ

⇔ uₙ₊₁ = (1/4)uₙ + vₙ = (1/4)uₙ + (11/2)

3) Initialisation

u₀ = 2 et u₁ = 6 donc on a bien u₀ < u₁ < 8

  Hérédité

Soit un certain n tel que uₙ < uₙ₊₁ < 8 (hypothèse de récurrence)

⇔ (1/4)uₙ < (1/4)uₙ₊₁ < 2

⇔ (1/4)uₙ + (11/2) < (1/4)uₙ₊₁ < 15/2

⇔ uₙ₊₁ < uₙ₊₂ < 15/2 < 8

La propriété est donc héréditaire

  Conclusion

La propriété uₙ < uₙ₊₁ < 8 est vraie pour les rangs 0 et 1 , et elle est héréditaire. Elle est donc vraie pour tout n entier naturel

4) On a démontré que uₙ < uₙ₊₁ pour tout n , la suite 'uₙ) est donc croissante.

De plus , comme uₙ < uₙ₊₁ <8 , la suite est majorée par 8

La suite (uₙ) est donc strictement croissante, et majorée. Elle est donc convergente.

5) wₙ = uₙ - 22/3

wₙ₊₁ = uₙ₊₁ - 22/3 = (1/4)uₙ + 11/2 - 22/3 = (1/4)uₙ - 11/6

      = (1/4)(uₙ - 22/3) = (1/4)wₙ

La suite (wₙ) est donc une suite géométrique de raison 1/4 et de 1er terme w₀ = u₀ - 22/3 = 2 - 22/3 = -16/3

6) On a donc wₙ = -16/3 × (1/4)ⁿ

et comme wₙ = uₙ - 22/3 , on a uₙ = wₙ + 22/3 = -16/3 × (1/4)ⁿ + 22/3

7) on a 0 < q < 1 donc [tex]\lim_{n \to \infty} q^{n} =0[/tex]

donc [tex]\lim_{n \to \infty}( -16,3 *q^{n} )=0[/tex]

et donc [tex]\lim_{n \to \infty}( u_n )=\frac{22}{3}[/tex]

Je ne sais pas ce que vous aviez trouvé dans la partie précédente pour dire si c'est cohérent ou non