Bonjour, pouvez-vous m’aider à cette exercice de spé maths niveau première svp? C’est le 64 Mercii ! (Voir photo)

Bonjour :))

[tex]g:x\rightarrow-2x^{2}+4x+4\in\mathbb R\\\\On\ note\ l'\'equation\ tangente\ (T)\ \`a\ C_g\ au\ point\ x=2:\\Y_T/C_g(x=2)=g'(2)(x-2)+g(2)\\\\g(2)=-2(2)^{2}+4(2)+4=4\\\\g'(x)=-4x+4\\g'(2)=-4\\\\Y_T/C_g(x=2)=-4(x-2)+4\\\boxed{Y_T/C_g(x=2)=-4x+12}\\\\g(x)-Y_T/C_g(x=2)=(-2x^{2}+4x+4)-(-4x+12)\\\boxed{g(x)-Y_T/C_g(x=2)=-2x^{2}+8x-8}\\\\\Delta=b^{2}-4ac=8^{2}-4*(-2)*(-8)\\\Delta=0\ \ \ \ \ DONC\ 1\ unique\ solution\ sur\ \mathbb R\\\\\boxed{x=\frac{-b}{2a}=\frac{-8}{2*(-2)}=2}\\[/tex]

[tex]Une\ unique\ solution\ sur\ \mathbb R\ signifie\ que\ le\ polyn\^ome\\admet\ cette\ solution\ comme\ son\ maximum\ si\ a<0.\\\\De\ plus,g(x)-Y_T/C_g(x=2)\leq0\ sur\ \mathbb R\ car\ a<0\\\\Conclusion:\ La\ courbe\ C_g\ est\ en\ dessous\ de\ la\ tangente\ (T)\ sur\ \mathbb R[/tex]

N'hésite pas à revenir vers moi pour des questions. Bonne continuation :))

Réponse :

Explications étape par étape :

Bonsoir, exercice relativement classique, ce genre d'exo retombe régulièrement.

Par définition, l'équation de la tangente T, en un point A d'abscisse a vaut :

y = g'(a)(x-a) + g(a).

En introduisant l'abscisse du point A indiqué dans l'énoncé (2), on obtient finalement :

y = g'(2)(x-2) + g(2).

Ici, il faut préalablement commencer par dériver la fonction g, nécessaire pour calculer g'(a). En premier lieu, g est dérivable pour tout réel x (car trinôme du 2nd degré), ainsi :

g'(x) = -4x + 4.

Il en résulte : g'(2) = -8 + 4 = -4.

Par la suite, déterminer l'image de 2 par la fonction g, soit g(2) :

g(2) = -8 + 8 + 4 = 4.

Toutes les conditions requises sont finalisées, pour obtenir l'équation de tangente T recherchée :

y = g'(2)(x-2) + g(2) = -4(x-2) + 4 = -4x + 12.

Pour déterminer la position relative de Cg par rapport à T, il suffit de résoudre une inéquation. Savoir lorsque la courbe Cg est au dessus, en dessous, ou coupe T.

On étudie donc les expressions de Cg, et T, soit g(x) = -2x² + 4x + 4 et y = -4x + 12.

---> Si Cg est au dessus de T, alors -2x² + 4x + 4 > -4x + 12.

---> Si Cg est en dessous de T, alors -2x² + 4x + 4 < -4x + 12.

---> Si Cg coupe T, alors -2x² + 4x + 4 = -4x + 12.

On peut résoudre ces inéquations par différence, en introduisant une fonction h(x), telle que :

h(x) = -2x² + 4x + 4 - (-4x+12) = -2x² + 8x - 8.

Tout ceci équivaudra à étudier le signe de h(x).

On visualise directement en factorisant :

-2x² + 8x - 8 = -2*(x² - 4x + 4) = -2*(x-2)².

Sachant que (x-2)² est strictement positif pour tout réel x (sauf pour x = 2, car x-2 = 0), le signe de h(x) sera donc du signe de -2, négatif.

Cg sera donc strictement en dessous de T pour tout réel x, sauf pour x = 2 (donc au point A), où Cg coupera la tangente T.

Bonne soirée