Bonjour un exercice de image et antécédents que j’ai pas trop compris vous pouvez m’aider s’il vous plaît.

Réponse :

Notions d'images et d'antécédents par une fonction

étant donnée une fonction f(x) sur un domaine de définition Df  

On appelle image de "a" par la fonction f,  la valeur de f(a) :c'est à dire tu remplaces x par "a" et tu fais les calculs

On appelle antécédents de "a" par la fonction f les solutions (si elles existent) de f(x)=a il faut résoudre l'équation f(x)=a

exemple : soit la fonction f(x)=x²-3

quelques images:

l'image de 0 par f est f(0)=0²-3=-3

l'image de V2 par f est f(V2)=(V2)²-3=2-3=-1

l'image de-3 par f est f(-3)=(-3)²-3=9-3=6

Quelques antécédents

Antécédent(s) de 0 par f,  ce sont les solutions de f(x)=0 soit x²-3=0

x²=3    solutions -V3 et +V3

Antécédents de -5 par f, on résout x²-3=-5 soit x²=-2  c'est impossible

par conséquent -5 n'a pas d'antécédent par f.

Explications étape par étape

a)

f(x)=2(x-3)(x+1)

1a) f(-0,5) c'est l'image de -0,5 par f donc f(-0,5)=2(-0,5-3)(-0,5+1)=-3,5

f(1,5)           "           "             1,5        " donc f(1,5)=2(1,5-3)(1,5+1)=-7,5

b) les racines du polynôme f(x) : ce sont les antécédents de 0 par la fonction f c'est à dire les solutions de f(x)=0 soit 2(x-3)(x+1)=0

solutions x=3 et x=-1  ce sont les abscisses des points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses

c) Résoudre f(x)=-6 c'est rechercher les antécédents de 6 par la fonction f soient les solutions de 2(x-3)(x+1)=-6

pour cela on met f(x) sous sa forme développée

f(x)=2(x²+x-3x-3)=2x²-4x-6

on résout 2x²-4x-6=-6 soit 2x²-4x=0ou 2x(x-2)=0

solutions x=0 et x=2

résoudre f(x)=-8 on recherche les antécédents de -8 par la fonction f

à partir de la forme développée

2x²-4x-6=-8

2x²-4x-2=0 ou 2(x²-2x+1)=0 je reconnais l'identité remarquable (a-b)²

2(x-1)²=0   solution unique x=1  le point de coordonnées (1;-8) est le sommet de la parabole.