bonjour je suis en terminal et j'ai du mal avec les récurrence et notre prof nous a donner un exercice notée dessue et je ne comprend rien . merci pour l'aide e

Bonjour.

Le raisonnement par récurrence permet de démontrer une propriété pour tout entier n.

En gros, son fonctionnement c'est de dire :

- Ma propriété est bonne pour le premier entier n qui convient (en général 0).

C'est ce qu'on appelle l'initialisation.

- Je constate que si ma propriété est vraie pour un rang n quelconque, alors elle est vraie aussi au rang suivant (n+1). C'est ce qu'on appelle l'hérédité.

Donc ma propriété est vraie pour tout entier.

A présent revenons à notre exercice.

1) Ici notre suite est définie sur N. Son premier terme est donc u0.

On a u0 = 0

Donc 0 <= U0 <= 4 (Initialisation)

Soit n∈N un entier quelconque. Je suppose que ma propriété est vraie à ce rang. Donc 0 <= Un <= 4

J'ai donc 0<= 3Un <= 12

Donc 4 <= 3Un + 4 <= 16

Donc 2 <= √(3Un+4) <= 4 (car la fonction racine est croissante sur [4,16])

Donc 2 <= Un+1 <= 4

Donc par extension 0 <= Un+1 <= 4

La propriété est vraie au rang n+1.

(Hérédité)

On vient donc de démontrer par récurrence que ∀n∈N, 0 ≤ Un ≤ 4.

2) a) Soit n∈N. On a [tex]U_{n+1}^2 - U_{n}^2 = \sqrt{3U_n + 4} ^2 - U_n^2 = -U_n^2 + 3U_n + 4[/tex]

Et [tex]-(U_n + 1)(U_n - 4) = -Un^2 + 4 U_n - U_n + 4 = -U_n^2 + 3U_n + 4[/tex]

Donc [tex]U_{n+1}^2 - U_n^2 = -(U_n+1)(U_n-4)[/tex]

b) On sait que pour tout n ∈ N, 0≤Un≤4.

On étudie donc le signe de [tex]-(U_n+1)(U_n-4)[/tex] pour Un appartenant à [0;4].

On a Un+1 ≥ 0 et Un-4 ≤ 0

Donc  [tex]-(U_n+1)(U_n-4)[/tex] ≥ 0

Donc [tex]U_{n+1}^2 - U_n^2 \geq 0[/tex]

Donc [tex]U_{n+1}^2 \geq U_n^2[/tex]

Or pour tout n ∈ N, Un ≥ 0.

Donc [tex]U_{n+1} \geq U_n[/tex]

Donc (Un) est croissante sur N