Bonjourr, j’ai besoin d’aide pour cet exercice !! (x²+2x )²+6(x²+2x)-27=0 Nous pouvons le résoudre en faisant un changement de variable

Réponse :

Solution = { -3 ; +1 }

Explications étape par étape :

■ (x²+2x)² + 6(x²+2x) - 27 = 0 donne

   x4 + 4x³ + 4x² + 6x² + 12x - 27 = 0

   donc

  x4 + 4x³ + 10x² + 12x - 27 = 0

■ x = 1 est une racine évidente ! ☺

   donc

   x4 + 4x³ + 10x² + 12x - 27 = 0 donne

   (x-1) (x³ + ax² + bx + 27) = 0

   développons :

   x4 + ax³ + bx² + 27x - x³ - ax² - bx - 27 = 0

   donc

   x4 + (a-1)x³ + (b-a)x² + (27-b)x - 27 = 0

   par identification :

   a = 5 et b = 15 .

■ résolvons (x-1) (x³ + 5x² + 15x + 27) = 0

   x = 1 est la première racine évidente

   x = -3 est l' autre racine ( moins évidente certes ! ☺ )  

■ Solution = { -3 ; +1 } .

■ ■ méthode du changement de variable :

      soit X = x² + 2x

      on doit alors résoudre X² + 6X - 27 = 0

                                            (X + 3)² - 36 = 0

                                            (X + 3)² - 6² = 0

                                 (X+3 - 6) (X+3 + 6) = 0

                                     (X - 3)   (X + 9)   = 0

                                      X = 3 ou X = -9

      X = 3 donne x² + 2x = 3 donc x² + 2x - 3 = 0

                                              donc (x-1) (x+3) = 0

                                              d' où x = 1 ou x = -3 .

      X = -9 donne x² + 2x = -9 donc x² + 2x + 9 = 0

                            pas de racine réelle car le discriminant est négatif !!