Bonjour pourriez-vous m’aider pour l’exercice 96 s’il vous plaît ? (10 points)

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape :

1)

T(n) est la température du café à l'instant "n" qui ne peut que baisser .

Donc : suite décroissante.

2)

On a donc :

T(n+1)-T(n)=-0.2(T(n)-10)

T(n+1)=-0.2*T(n)+2+T(n)

T(n+1)=0.8T(n)+2

3)

a)

Soit U(n) la suite cherchée constante qui suit la même relation de récurrence que T(n).

U(n+1)=0.8*U(n)+2=U(n)

Ce qui donne :

U(n)-0.8*U(n)=2

0.2U(n)=2

U(n)=2/0.2

U(n)=10

b)

Soit la suite :

U(n)=T(n)-10

U(n+1)=T(n+1)-10 mais T(n+1)=0.8T(n)+2 donc :

U(n+1)=0.8T(n)+2-10

U(n+1)=0.8T(n)-8 ===>on met 0.8 en facteur.

U(n+1)=0.8[T(n)-10] car 0.8*(-10)=-8

Mais T(n)-10 = U(n) donc :

U(n+1)=0.8U(n)

Ce qui prouve que la suite U(n) est une suité géométrique de raison q=0.8 et de 1er terme U(0)=T(0)-10=80-10=70

On sait que pour une telle suite :

U(n)=U(0)*q^n

Soit ici :

U(n)=70*0.8^n

Mais T(n)=U(n)+10

Donc :

T(n)=70*0.8^n+10

c)

Quand "n" tend vers + infini :

0.8^n tend vers zéro car -1< 0.8 < 1

lim (70*0.8^n+10)=70*0+10=10

La limite de cette suite est donc 10( degrés).

4)

a)

Tu obtiens ceci:

T ..80 ..66,00 ..54,80 ..45,84 ..38,67

n ..0 ....1 ..............2 .............3 ...............4

....V .....V .............V .........V ............F

b)

n=4

c)

A l'instant 4 , la température est descendue sous les 40°.

Mais on ne sait pas en quelle unité est "n" !! Des minutes ?