Je suis en 4eme et j'ai besoin d'aide pour cet exercice d'un dm de math Merci à tous ceux qui m'aideront ​

Bonjour,

Réponse courte : d) 3/16 (mais seulement si RSTU est un carré)

Réponse justifiée :

On cherche la fraction du triangle MNT par rapport au rectangle RSTU.

Notons l la largeur du rectangle (RU ou ST), et L la longueur (UT ou RS)

L'aire du rectangle RSTU est lxL unités d'aire.

Aire du triangle RST :

(RT) divise le rectangle RSTU en deux, alors l'aire de RST est (lxL)/2 unités d'aire.

Aire de MUT :

Dans un rectangle, les angles sont droits. Donc le triangle MUT est rectangle en U. L'aire de MUT est donc égal à MU x UT / 2.

M est le milieu de [RU], donc MU = l/2

L'aire de MUT est alors Lx(l/2)/2 = (lxL)/4 unités d'aire.

Calcul Longueur MT:

Dans le triangle MUT rectangle en U, on applique le théorème de Pythagore qui dit :

Dans un triangle rectangle le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Donc MT² = MU² + UT²

Donc MT² = (l/2)² + L²

MT² = l²/4 + L²

MT > 0 car MT est une longueur donc :

MT = [tex]\sqrt{l^2/4 + L^2}[/tex] unités.

Aire de RMT :

On sait que l'aire du triangle RMT est égal à l'aire du rectangle RSTU en retirant l'aire des deux triangles précédemment calculé.

C'est à dire : lxL - (lxL)/2 - (lxL)/4 = lxL/4 unités d'aire.

Calcul Longueur MN:

Or l'aire du triangle RMT peut également être calculée à l'aide de la formule base x hauteur / 2.

Comme (MN) est perpendiculaire à la droite(RT), on peut prendre MN pour la hauteur et RT la base.

On a alors (MN x RT) / 2 = lxL/4

Or RT est la diagonale du triangle RTU rectangle en U, on peut donc calculer sa longueur à l'aide du théorème de pythagore :

On a RT² = RU² + UT²

Donc RT² = l² + L² et RT > 0 car c'est une longueur, donc

RT = [tex]\sqrt{l^2 + L^2}[/tex] unités.

On a alors (MN x [tex]\sqrt{l^2 + L^2}[/tex] ) / 2 = lxL/4

Donc MN = (lxL)/2([tex]\sqrt{l^2 + L^2}[/tex] ) unités.

Calcul Longueur NT:

(MN) est perpendiculaire à la droite (RT). Donc le triangle MNT est rectangle en N.

On applique le théorème de Pythagore :

MT² = MN² + NT²

Donc NT² = MT² - MN²

On remplace par les valeurs numériques :

NT² = (l²/4 + L²) - (l²xL² / 4(l² + L²))

Donc NT² = (l² + 2L²)² / 4(l²+L²)

NT > 0 donc NT = (l² + 2L²) / 2([tex]\sqrt{l^2 + L^2}[/tex] ) unités.

Aire du triangle MNT (partie grisée):

L'aire du triangle MNT est donc égale à (MN x NT) / 2

On remplace par les valeurs numériques :

(MN x NT) / 2 = [tex]\frac{1}{2}* \frac{lL}{2\sqrt{l^2 + L^2} }[/tex] *  [tex]\frac{l^2 + 2L^2}{2\sqrt{l^2+L^2} }[/tex]

= [tex]\frac{lL(l^2 + 2L^2)}{8(l^2+L^2)}[/tex] unités d'aire.

Au final la fraction que représente le triangle grisé par rapport au rectangle est : [tex]\frac{l^2 + 2L^2}{8(l^2 + L^2)}[/tex]

On ne peut pas conclure sur la réponse à donner.

Si on suppose que le rectangle RSTU est un carré (c'est à dire l=L),

Alors l'aire du rectangle serait égal à L²

L'aire du triangle grisé serait égal à L²(3L²) / 16L² = (3/16)L²

soit 3/16 de l'aire du rectangle.