Bonjour à tous et à toutes, je vous appelle car j'ai besoin de votre aide, en effet j'ai un devoir en mathématiques a faire et les solutions m'échappent même en

Bonjour,

f(x) = 22,32x + 268

Partie 1 :

1) f'(x) = 22,32 > 0 donc f(x) croissante sur [10 ; 30]

Donc plus le prix du jeu vidéo coutera cher, plus il y aura d'offres

2) g(x) = -0,048x³ + 4x² - 120x + 1760

g'(x) = 3 × -0,048 × x² + 4 × 2 × x - 120

g'(x) = -0,144x² + 8x - 120

on pose g'(x) = 0 ⇔  -0,144x² + 8x - 120  = 0

Δ = b² - 4ac = (8)² - 4 × (-0,144) × (-120) = -5,12 < 0 donc pas de racine dans R ainsi g(x) décroissante sur  [10 ; 30]  

Donc plus le prix du jeu vidéo coutera cher, plus il y aura de demandes

Partie 2 :

1) h(x) = f(x) - g(x) = 22,32x + 268  - (-0,048x³ + 4x² - 120x + 1760 )

                        = 22,32x + 268 + 0,048x³ - 4x² + 120x - 1760

                        = 0,048x³ - 4x² + 142,32x - 1492

a = nb de demandes = nb d'offres = prix d'équilibre

h(10) = 0,048×(10)³ - 4×(10)² + 142,32×(10) - 1492 = -420,8

h(30) = 0,048×(30)³ - 4×(30)² + 142,32×(30) - 1492 = 473,6

h(10) < 0 et h(30) > 0 donc on a forcement h(x) = 0 pour a ∈ [10 ; 30]

2) h(x) = 0,048x³ - 4x² + 142,32x - 1492

h'(x) = 0,144x² - 8x + 142,32

h'(x) = 0 soit 0,144x² - 8x + 142,32 = 0

Δ = (-8)² - 4 × 0,144 × 142,32 ≈ -17,97 < 0 donc pas de racine sur [10 ; 30]

comme a > 0 la fonction h est strictement croissante sur R

Tableau de variation de la fonction h

x        | 10                   α                    30

h'(x)   |                       -  

h(x)    | -420,8    ⇗   0          ⇗    473,6  

h(x) = 0 admet donc une unique solution α ∈ [10 ; 30]

3) h(x) = 0 ⇔ 0,048x³ - 4x² + 142,32x - 1492  = 0

Solution exacte :  α = ((∛45(√(7313031255) - 3065750) - ∛(45(731303125255) + 3065750) + 250)/9

Solution approximative (celle demandée) :  α ≈ 16,85

4) Le prix d'équilibre est donc atteint pour 16,85 € avec un nombre de jeux vendus à 22,32 × 16,85 + 268 ≈ 644