Bonjour tout le monde, je dois rendre ce DM en maths (terminal spé) mais je ne comprends pas vraiment. Pour la question 1 j'ai trouvé que la dérivé était g'(x)=

Réponse :

Bonjour

Ta dérivée n'est pas correcte.

1) La fonction g est définie et dérivable sur l'ensemble des réels comme somme de fonctions exponentielle et affine définies et dérivables sur R.

[tex]g'(x)=e^x-1[/tex]

2)

[tex]e^x-1\geq 0\\e^x\geq 1\\x\geq 0[/tex]par croissance de la fonction exponentielle sur R.

Ainsi g'(x) est positif sur [0; +∞[ et négative sur ]-∞; 0]

Par théorème, g est croissante sur  [0; +∞[ et décroissante sur ]-∞; 0]

Etude des limites

[tex]\lim_{x \to -\infty} e^x=0[/tex]  et [tex]\lim_{x \to -\infty} -x=+\infty[/tex] donc par somme des limites

[tex]\lim_{x \to -\infty} g(x)=+\infty[/tex]

[tex]g(x)=x(\frac{e^x}{x} -1)[/tex]

[tex]\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} =+\infty[/tex] par croissance comparée

[tex]\lim_{x \to +\infty}( \frac{e^x}{x}-1) =+\infty[/tex] par somme

[tex]\lim_{x \to +\infty} x=+\infty[/tex]

donc

[tex]\lim_{x \to +\infty} g(x)=+\infty[/tex] par produit.

On a le tableau de variations suivant

x       |-∞       0        +∞

------------------------------

g'(x)  |     -     0      +

------------------------------

       |  +∞             +∞

g      |    ↘      1    ↗

------------------------------

[tex]g(0)=e^0-0=1[/tex]

3) D'après le tableau de variation la fonction g admet un minimum de 1 en x =0 donc g(x) > 0