Bonsoir j’ai besoin d’aide pour un exercice s’il vous plaît Soit fla fonction définie par f(x) = x² ———— x² – x+1 Montrer que, pour tout x réel, 0 ~< f(x) <2.

Réponse :

Bonsoir , pour résoudre ton problème on va étudier la fonction f(x) sur son domaine de définition.

Explications étape par étape :

1)Domaine de définition f(x) est une fonction quotient donc son diviseur doit être différent de 0

On note que x²-x+1=0 n'a pas  de solution (delta<0)  ; le diviseur  est donc toujours >0

On en déduit que Df=R   et que f(x) est toujours >ou=0.

2)Limites  

si x tend vers -oo, f(x) tend vers 1-

si x tend vers +oo,  f(x) tend vers 1+

3)Dérivée  f'(x)=[2x(x²-x+1)-(2x-1)x²]/(x²-x+1)²

f'(x)=x(2-x)/(x²-x+1)²

f'(x)=0    pour x=0 et x=2

4)Tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)

x    -oo                            0                           2                          +oo

f'(x)                 -                0            +              0           -

f(x)    1-         décroi         0            croi           4/3       décroi       1+  

f(0)=0 et f(2)=4//3

Ce tableau montre que   0<ou=f(x)  <2